Negative exponential binomial expansion
负指数二项式展开
前言
今日在学习陈希孺先生的《概率论与数理统计》一书时，看到了一个之前未闻的负二项分布，于是上溯到负指数的二项式展开，这方面从前未知，照例学习一番，写篇博客，即入即出。
含负数的组合数
我们通常的二项式展开的指数是非负整数，例如： \[ (a+b)^n=\sum_{r=0}^{n}C_n^ra^{n-r}b^r \] 其中\(C_n^r=\frac{n!}{r!(n-r)!}\)，又记做\(\tbinom{n}{r}\)。我们高中学到的二项式展开，\(n\)和\(r\)通常是非负整数，如果我们要展开像是\((a+b)^{-3}\)这样指数是负数的二项式，就要把上面的\(n\)拓展到负数，而\(r\)仍是非负整数。
\(n\)拓展到负数以后，\(\tbinom{n}{r}\)的计算方法还是一样的，即： \[ \tbinom{n}{r}=\frac{n(n-1)\cdots(n-r+1)}{r!}=\frac{n!}{r!(n-r)!} \] 假设\(n\),\(k\)为正数，我们根据这个定义计算一下\(\tbinom{-n}{k}\): \[ \begin{aligned} \tbinom{-n}{k} =&\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{n(n+1)\cdots(n+k-1)}{k!}\\ =&(-1)^k\frac{(n+k-1)!}{k!(n-1)!}\\ =&(-1)^k\tbinom{n+k-1}{k} \end{aligned} \]
负指数二项式的麦克劳林展开
\(f(x)\)的麦克劳林级数（Maclaurin series ）定义为： \[ f(x)=f(0)+f^{'}(0)x+\frac{f^{"}(0)}{2!}x^2+\cdots+\frac{f^{(k)}(0)}{k!}x^k+\cdots \] 假设\(n\)为正数，以\(\frac{1}{(1+x)^n}\)为例，求其二项式展开。
首先根据Maclaurin级数展开\(\frac{1}{(1+x)^n}\)： \[ \begin{aligned} f(x) = (1+x)^{-n}\Rightarrow&f(0)=1\\ f^{'}(x) = (-n)(1+x)^{(-n-1)}\Rightarrow&f^{'}(0)=-n\\ f^{"}(x) = (-n)(-n-1)(1+x)^{(-n-2)}\Rightarrow&f^{"}(0)=(-n)(-n-1)\\ &\vdots\\ f^{(k)}(x) = (-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))(1+x)^{-n-k}\Rightarrow&f^{(k)}(0)=(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))\\ &\vdots \end{aligned} \] 代入得： \[ \begin{aligned} f(x)&=1+(-n)x+\frac{(-n)(-n-1)}{2!}x^2+\cdots+\frac{(-n)(-n-1)\cdots(-n-(k-1))}{k!}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}\tbinom{-n}{k}x^k\\ &=\sum_{k=0}^{\infty}(-1)^k\tbinom{n+k-1}{k}x^k \end{aligned} \]